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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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5. Obtenga el polinomio de Taylor de orden nn de las siguientes funciones en x0=0x_{0}=0
e) f(x)=11−x2f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}

Respuesta

Este es mucho más complicado que los anteriores. Voy a dejar acá las bases de la resolución para que quede, pero no voy a hacer todas las derivadas acá 😅

En este caso la función para la cual queremos encontrar el Taylor de orden nn centrado en x=0x=0 es f(x)=11−x2f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}

Veamos los primeros términos cómo se comportan:

f(x)=11−x2f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}
f(0)=1f(0) = 1

Derivamos por primera vez:

f′(x)=2x(1−x2)2 f'(x) = \frac{2x}{(1 - x^2)^2}
f′(0)=0f'(0) = 0

Derivamos una vez más:

f′′(x)=2(1+3x2)(1−x2)3 f''(x) = \frac{2(1 + 3x^2)}{(1 - x^2)^3}

f′′(0)=2f''(0) = 2

Y esto ya se empieza a poner muy cuentoso. Sólo si querés y si estás muy al pepe, seguí un par más para convencerte que efectivamente las derivadas impares evaluadas en x=0x=0 van a ser 00, y para las derivadas pares, si el orden de la derivada es kk, entonces al evaluarlas en x=0x=0 nos queda k!k!. Por ejemplo, en este caso nosotrxs hicimos f′′(0)=2!f''(0) = 2!, eso se sigue repitiendo para las otras derivadas pares. 

Entonces nos queda:

p(x)=1+2!⋅x22!+ 4!⋅x44!+ 6!⋅x66!+... (2k)!⋅x2k(2k)!p(x) = 1 + \frac{2! \cdot x^2}{2!} + \frac{4! \cdot x^4}{4!} + \frac{6! \cdot x^6}{6!} + ... \frac{(2k)! \cdot x^{2k}}{(2k)!}

Y simplificando...

p(x)=1+x2+x4+x6+...+x2kp(x) = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^{2k}

Donde el grado de este polinomio es n=2kn = 2k
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